# 線型代数学 ## ベクトル ベクトルとは、一般的には「大きさと向きをもつ量」であり「矢印で表すことのできる量」である。 ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/CPXimage.png) ２次元のベクトルは２つの成分（***x***, ***y***）があり、3次元の場合は３の成分（***x***, ***y***, ***z***）がある。Unityでは `Vector2` と `Vector3` の構造体があり、それぞれのベクトルを作成ができる。 ```c# Vector2 vec2D = new Vector2(vx, vy); // vxとvyはfloatである Vector3 vec3D = new Vector3(vx, vy, vz); // vzもfloatである ``` ゲームの中で、ベクトルをよく使うものである。例えば、3D空間で、キャラクターの速度が「左向き：秒速2メートル、前方：秒速10メートル」であるとしたら… ```c# // 3D空間だと、x:左右、y:上下、z:前後 Vector3 velocity = new Vector3(-2, 0, 10); ``` また、ゲームの場合は、向きと量はもちろんそうであるが、その他に「位置」もベクトルで表現する。 ```c# // プレーヤーはシーンの中心点から前方100メートルにいる Vector3 playerPosition = new Vector3(0, 0, 100); ``` ### 演算 やはり、ベクトルは重要なので、ベクトルの演算を学ばないといけない。 #### 加算 ２つのベクトルを足すことができる。その結果は各成分の足し算である： 2次元の場合：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/7NHimage.png)
3次元の場合：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/5B0image.png)
Unityでは「+」の演算子で２つのベクトルを足すことができる ```c# Vector3 v = new Vector3(vx, vy, vz); // vx, vyとvzは何かのfloat型の数値 Vector3 w = new Vector3(wx, wy, wz); // wx, wyとwzは何かのfloat型の数値 Vector3 vw = v + w; ``` 幾何学的に、足し算は２つの矢印を連続し、1つ目のベクトルの始点から２つ目のベクトルの終点までに新しいベクトルを作成するイメージ： ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/Zkjimage.png) #### 減算 引き算は同じ形で行う：
[![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/bNCimage.png)](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/bNCimage.png)
```c# Vector3 v = new Vector3(vx, vy, vz); // vx, vyとvzは何かのfloat型の数値 Vector3 w = new Vector3(wx, wy, wz); // wx, wyとwzは何かのfloat型の数値 Vector3 vw = v - w; ``` 幾何学的には、引くベクトルの向きを反転してから連続に繋がる [![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/dn2image.png)](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/dn2image.png) #### 練習 加算と減算を使い、２つのオブジェクトを相対的に移動 - シーンに２つの3Dゲームオブジェクトを追加し、距離的に放してください。 - 1つ目の名前は「Control」 - 2つ目の名前は「Follower」 - スクリプト「VectorTest」を作成し… - Follower と Control の相対位置を求める（減算） - Control をシーン内で動かしたら、Follower が移動を真似する（加算）
スクリプト：VectorTest ```c# // ベクトル演算の練習」 public class VectorTest : MonoBehaviour { // 移動すべきのオブジェクト [SerializeField] private GameObject control; // controlを追跡するオブジェクト [SerializeField] private GameObject follower; // controlとfollowerの相対位置 private Vector3 relativePosition; private void Start() { // 初期位置を取得 var v = control.transform.position; var w = follower.transform.position; // 相対位置を計算（減算で） relativePosition = w - v; } private void Update() { // followerの位置が、controlの位置 + 相対位置 follower.transform.position = control.transform.position + relativePosition; } } ```
#### 実数との掛け算、割り算 ベクトルを実数との掛け算ができる。各成分との掛け算になる：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/y4fimage.png)
Unityでは、普通の掛け算演算子「\*」で計算できる： ```c# Vector3 v = new Vector3(vx, vy, vz); // vx, vyとvzは何かのfloat型の数値 Vector3 nv = v * n; // nは何かの実数(float)である ``` #### 練習 先ほど作った「VectorTest」を更新し、相対位置の「倍率（scale）」を Inspector で変えられるようにする。
スクリプト：VectorTest ```c# // ベクトル演算の練習」 public class VectorTest : MonoBehaviour { // 移動すべきのオブジェクト [SerializeField] private GameObject control; // controlを追跡するオブジェクト [SerializeField] private GameObject follower; // 相対位置の倍率 [SerializeField] private float scale = 1; // controlとfollowerの相対位置 private Vector3 relativePosition; private void Start() { // 初期位置を取得 var v = control.transform.position; var w = follower.transform.position; // 相対位置を計算（減算で） relativePosition = w - v; } private void Update() { // 倍率を適用する Vector3 scalePos = relativePosition * scale; // followerの位置が、controlの位置 + 相対位置 follower.transform.position = control.transform.position + scalePos; } } ```
### ベクトルの長さ 場合により、ベクトルの長さを求めたいときもある。これには「ピタゴラスの定理」（三平方の定理）を利用する。ピタゴラスの定理を思い出しましょう。直角三角形があれば… ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/Lvbimage.png) ***c*** 辺の長さは：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/cNjimage.png)
つまり…
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/so8image.png)
これはベクトルの成分とよく似ているので： ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/Py8image.png) これができる！
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/r41image.png)
ここで || v || はベクトルの「ノルム」といわれ、ベクトルの長さを表している。Unityでは、Vectorの便利な「magnitude」がある： ```c# Vector2 p = new Vector2(3, 4); float len = p.magnitude; // len は p の長さ（5）である ``` ### 単位ベクトル ベクトルの長さを「1」にすると、そのベクトルは単位円の中に入り、各成分がsinとcosを一致させることができる。その他にも、ベクトルの長さを調整する前に、まず長さを1に戻さないといけないが必要である。その場合は単位ベクトルを求めないといけない。 ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/kvfimage.png) 単位ベクトルを求めるのは、ベクトルをノルムで割るだけ：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/bMBimage.png)
Unityでは「normalized」というプロパティーで単位ベクトルを求めることができる。 ```c# // 任意の長さのベクトル v があるとして： Vector3 v = new Vector3(30, 12, -15); // uはvと同じ向き（方向）であるが、長さは「1」である（単位ベクトル） Vector3 u = v.normalized; ``` ### ベクトル同士の”掛け算”（内積と外積） ベクトル同士の掛け算はできないが、２つの特別な関数がある。内積（dot product）と外積（cross product）。それぞれは限られた使い方があるが、必要な時にとても便利である。 #### 内積 内積の定義は以下の通りになる： ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/OQyimage.png)
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/0g7image.png)
ある２つのベクトル「v」と「w」の内積は、それぞれのベクトルのノルム（長さ）とその２つのベクトルの間の角度のコサインの掛け算である。答えは実数である。 これは何に便利かというと、２つのベクトルの間の角度を求めたいなら、内積を使えば良いでしょう。まず、vとwを単位ベクトルにすると、長さは1になるので、式は単純になる：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/Jtsimage.png)
そして、角度を求めるのは：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/fcLimage.png)
Unityで内積の計算を実装されている： ```c Vector3 v = new Vector3(vx, vy, vz); Vector3 w = new Vector3(wx, wy, wz); float dot = Vector3.Dot(v, w); // 内積 // 角度を求めたいなら float radians = Mathf.Acos(dot); // そして float angle = radians * Mathf.Rad2Deg; ``` ##### 練習 警備員の視野を利用するゲーム - 警備員は「視野」があり、前方±角度しか見えない - 泥棒が視野の中に入ってれば→発見！
警備員のスクリプト ```c# // 警備員の前に泥棒がいるかいないか確認する public class GuardMan : MonoBehaviour { // 泥棒への向きが欲しいので、泥棒が必要 [SerializeField] private GameObject thief; // 視野（度） [SerializeField] private float viewAngle; // 色を変えるため private MeshRenderer rend; private void Start() { rend = GetComponent(); } private void Update() { // 警備員の前向きのベクトル Vector3 v = transform.forward; // 青い矢印のこと // 泥棒への向き Vector3 w = thief.transform.position - transform.position; // 単位ベクトルにする w.Normalize(); // 内積で角度のコサインを求める float dot = Vector3.Dot(v, w); // 内積からラジアン角度を求める float radian = Mathf.Acos(dot); // 度に変換 float angle = radian * Mathf.Rad2Deg; // 警備員と泥棒の角度が視野よりも小さければ、発見！ if (angle < viewAngle) rend.material.color = Color.red; // 見えない else rend.material.color = Color.green; } } ```
#### 外積 ２つのベクトル外積の式は以下の通りである：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/jp7image.png)
そして、Unityでも計算を実装されている： ```c# Vector3 v = new Vector3(vx, vy, vz); Vector3 w = new Vector3(wx, wy, wz); Vector3 cross = Vector3.Cross(v, w); // 外積の結果は新しいベクトルである ``` 式よりも、外積の幾何学的な意味は重要。2つの3Dベクトル「v」と「w」は平面を定義すし、それで「v」と「w」の外積の結果は： - 新しい3Dベクトルである - このベクトル「v」と「w」で定義された平面を直交する - また、長さは
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/gQTimage.png)
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/ocximage.png) 従って、２つのベクトルがあれば、そのベクトルで作られた「面」を直交するベクトルを求めることができる。面の「法線ベクトル」、または3D空間の傾きの方向を求めることができる！ ## 行列 数を縦と横に矩形状に配列したものである。横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。例えば、下記のような行列:
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/BBaimage.png)
は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。Unity は行列のクラスがないため、自分で作ってみましょう。 #### 練習 「Matrix」クラスを実装して： - サイズ（行数、列数）を設定できるようにする - 各要素を（行：ｒ、 列 ｃ） - `float Get(int r, int c)` で取得できるようにする。 - `void Set(int r, int c, float value)`で代入できるようにする。 - `string ToString();` のメソッドを実装し、中身を文字列として返すようにする 最後に、TestMatrix スクリプトを作成し、操作を確認してください。 **補足：C#の1次元の配列を2次元の行列へ** 行列は「行」と「列」２次元があるが、C#の配列は１次元しかない。２次元の行列を作成するため、以下の変換を行わないといけない：`int i = r * cols + c;` ここで、 - i = １次元（配列）の指数 - r = 行列の「行」 - c = 行列の「列」 - cols = 行列の列数 例えば、4×3の行列で「 列:3、行:2」の要素を求めたい。ならば… ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/SUrimage.png) - c = 2 - r = 1 - cols = 4 - i = r \* cols + c = 1 \* 4 + 2 = **6**
Matrix クラス ```c# // 行列クラス public class Matrix { // 列の数 private int rows; // 行の数 private int cols; // 行列の数値（配列） private float[] data; // コンストラクタ（インスタンスする時に呼び出す） // rows: 行の数 // cols: 列の数 public Matrix(int rows, int cols) { this.cols = cols; this.rows = rows; data = new float[cols * rows]; } // 数値を読む // r: 行 // c: 列 // 行列の数値を返す public float Get(int r, int c) { // 配列の位置（指数）を計算 int i = r * cols + c;; return data[i]; } // 数値を代入 // r: 行 // c: 列 // value:代入したい数値 public void Set(int r, int c, float value) { // 配列の位置（指数）を計算 int i = r * cols + c; // 代入 data[i] = value; } // 文字列にする public override string ToString() { // 表示用の文字列 string s = ""; // 1行ずつ for (int j = 0; j < rows; j++) { // 1列ずつ for (int i = 0; i < cols; i++) { // 数値を取得 float v = Get(j, i); // 数値を文字列にして、連結する s += $"{v:0.00} "; } // 改行 s += "\n"; } // 返す return s; } } ```
TestMatrix スクリプト ```c# // 行列を確認するため public class MatrixTest : MonoBehaviour { private void Start() { PrintMatrix(); } private void PrintMatrix() { Matrix m = new Matrix(2, 3); m.Set(0, 0, 1); m.Set(0, 1, 9); m.Set(0, 2, -13); m.Set(1, 0, 20); m.Set(1, 1, 5); m.Set(1, 2, -6); // ToString() を実装したので、自動的に文字列に変換される Debug.Log(m); } } ```
### 足し算（加法） ２つの行列「A」と「B」、「A」と「B」のサイズが「m × n」である場合、A+Bの結果行列「C」は、各要素の足し算である。
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/jRGimage.png) ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/yhyimage.png)
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/eJoimage.png)
もっと簡単にすると、各要素 ***cij*** の値は：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/fqUimage.png)
ここで「i」は「行」と「j」は「列」とする #### 練習 「Matrix」クラスを拡張して： - `Matrix Sum (Matrix b)` を追加し、加法を実装する - 自分と渡された行列「b」を足し、新しい行列を返す - 行数、または列数が合わない場合は `Debug.LogError` でエラーを表示し、null を返す TestMatrix を更新し、以下の２つの行列を足してください。
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/jS5image.png) ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/JVoimage.png)
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/I4Limage.png)
Sum メソッド ```c# // 行列の加算 public Matrix Sum(Matrix b) { // 同じサイズかを確認する if (cols != b.cols || rows != b.rows) { Debug.LogError("行列のサイズが合わない"); return null; } // 結果の行列 Matrix result = new Matrix(rows, cols); // 1行ずつ for (int r = 0; r < rows; r++) { // 1列ずつ for (int c = 0; c < cols; c++) { float va = Get(r, c); // 自分の数値を求める float vb = b.Get(r, c); // 相手の数値を求める result.Set(r, c, va + vb); // 足して、代入 } } // 返すだけ return result; } ```
TestSum メソッド ```c# void TestSum() { // 3行2列の行列を作成 Matrix a = new Matrix(3, 2); // 数値を代入 a.Set(0, 0, 4); a.Set(0, 1, 6); a.Set(1, 0, -1); a.Set(1, 1, 0); a.Set(2, 0, 8); a.Set(2, 1, -3); Debug.Log(a); Matrix b = new Matrix(3, 2); b.Set(0, 0, 5); b.Set(0, 1, 1); b.Set(1, 0, -2); b.Set(1, 1, 2); b.Set(2, 0, 2); b.Set(2, 1, 3); Debug.Log(b); // 行列の加算 Matrix c = a.Sum(b); Debug.Log(c); } ```
### 掛け算（乗法） ２つの行列「A」と「B」をかけることができる。ただし、「A」の列数は「Ｂ」の行数を等しくする条件を満たさないといけない。つまり、「A」は「l × m」であれば、「B」は「m × n」を確かめないといけない。この場合は、結果行列「C」のサイズは「l × n」になる。 この場合は、各要素 ***cij*** の掛け算の式は以下にある：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/szMimage.png)
つまり… ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/jM3image.png) 行列「C」の「i, j」要素は、行列「A」の「i行目」× 行列「B」の「j列目」を全て足す結果。例えば： ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/41Pimage.png) **注意：行列の積は可換でない**（行列による変換の話のときに、ここを注意しましょう）
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/FuEimage.png)
#### 練習 「Matrix」クラスを拡張して： - `Matrix Multiply (Matrix b)` を追加し、乗法を実装する - 自分と渡された行列「b」を足し、新しい行列を返す - 行数、または列数が合わない場合は `Debug.LogError` でエラーを表示し、null を返す - 上記のAとB行列で確認。結果は：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/NOSimage.png)
Multiply メソッド ```c# // 行列の掛け算 public Matrix Multiply(Matrix b) { // 掛け算ができることを確認 if (cols != b.rows) { Debug.LogError("行と列の数が一致していない"); return null; } // 返す行列（自分の行数 x 相手の列数） Matrix result = new Matrix(rows, b.cols); // 1行ずつ（結果行列） for (int i = 0; i < rows; i++) { // 1列ずつ（結果行列） for (int j = 0; j < b.cols; j++) { // 1数値ずつ float sum = 0; for (int k = 0; k < cols; k++) { sum += Get(i, k) * b.Get(k, j); } result.Set(i, j, sum); } } return result; } ```
TestMultiply メソッド ```c# void TestMultiply() { // 2行3列の行列を作成 Matrix a = new Matrix(4, 2); // 数値を代入 a.Set(0, 0, 1); a.Set(0, 1, 0); a.Set(1, 0, 3); a.Set(1, 1, -1); a.Set(2, 0, 2); a.Set(2, 1, 2); a.Set(3, 0, 5); a.Set(3, 1, 1); Debug.Log(a); Matrix b = new Matrix(2, 3); b.Set(0, 0, 4); b.Set(0, 1, 1); b.Set(0, 2, 2); b.Set(1, 0, 5); b.Set(1, 1, 0); b.Set(1, 2, 1); Debug.Log(b); // 行列の掛け算 Matrix c = a.Multiply(b); Debug.Log(c); } ```
### ベクトルと行列の掛け算 ベクトルを「m × 1」の行列として扱えば、普段に掛け算ができる：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/0Wzimage.png)
#### 練習 「Matrix」クラスを拡張し、Unityの`Vector3` と `Vector4` と掛け算（乗法）ができるようにする。 - ベクトルを 3x1 または 4x1 の行列にする - 普通の掛け算を計算 - 出来上がった行列をまたベクトルに変換し、返す 確認用：
![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/Ck5image.png) ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/zDVimage.png) ![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/wNJimage.png)
[![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/eISimage.png)](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/eISimage.png) [![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/V7vimage.png)](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/V7vimage.png) [![image.png](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/scaled-1680-/aCdimage.png)](https://class.illogic.games/uploads/images/gallery/2026-06/aCdimage.png)
Multiply メソッド (Vector3) ```c# // 行列×ベクトルの掛け算 public Vector3 Multiply(Vector3 vector) { // ベクトルを3x1の行列にする Matrix b = new Matrix(3, 1); b.Set(0, 0, vector.x); b.Set(1, 0, vector.y); b.Set(2, 0, vector.z); // 普通の掛け算 Matrix c = Multiply(b); // cをまたベクトルにする Vector3 result = new Vector3(); result.x = c.Get(0, 0); result.y = c.Get(1, 0); result.z = c.Get(2, 0); return result; } ```
Multiply メソッド (Vector4) ```c# // 行列×ベクトルの掛け算 public Vector4 Multiply(Vector4 vector) { // ベクトルを3x1の行列にする Matrix b = new Matrix(4, 1); b.Set(0, 0, vector.x); b.Set(1, 0, vector.y); b.Set(2, 0, vector.z); b.Set(3, 0, vector.w); // 普通の掛け算 Matrix c = this.Multiply(b); // cをまたベクトルにする Vector4 result = new Vector4(); result.x = c.Get(0, 0); result.y = c.Get(1, 0); result.z = c.Get(2, 0); result.w = c.Get(3, 0); return result; } ```
TestMultiplyV3 メソッド ```c# private void TestMultiplyV3() { Matrix a = new Matrix(3, 3); a.Set(0, 0, 3); a.Set(0, 1, -5); a.Set(0, 2, 0); a.Set(1, 0, 2); a.Set(1, 1, 8); a.Set(1, 2, -2); a.Set(2, 0, 1); a.Set(2, 1, 3); a.Set(2, 2, 4); Vector3 v = new Vector3(3, -2, 1); Vector3 w = a.Multiply(v); Debug.Log(w); } ```
TestMultiplyV4 メソッド ```c# private void TestMultiplyV4() { Matrix a = new Matrix(4, 4); a.Set(0, 0, 3); a.Set(0, 1, 1); a.Set(0, 2, 8); a.Set(0, 3, -2); a.Set(1, 0, 0); a.Set(1, 1, 4); a.Set(1, 2, 3); a.Set(1, 3, 7); a.Set(2, 0, 4); a.Set(2, 1, 11); a.Set(2, 2, -5); a.Set(2, 3, 2); a.Set(3, 0, 1); a.Set(3, 1, 5); a.Set(3, 2, 0); a.Set(3, 3, 9); Vector4 v = new Vector4(4, -3, 1, 1); Vector4 w = a.Multiply(v); Debug.Log(w); } ```
この Matrix クラスを追って、後ほど使うので、大事にしてください～