オイラー（Euler）回転の弱点：ジンバルロック

ここまで学んできた回転方法は「オイラー」（Euler）回転といい、x, y, zの各軸ごとに別々に回転することにより、オブジェクトに連続に適用すると、自由に回転できる… 
 
 設定しても、回転順番を決めないといけない。X→Y→Z / Y→Z→X / X→Z→Y などの様々な組み合わせがあり、それぞれの最終結果がことなるので、混乱する可能性がある。 
  また、「ジンバルロック」という問題もある。次の装置を見てください。この装置は「X（赤）→  Y（緑）→  Z（青）」の順番で回転する装置。この状態で、物体が各軸の周りの回転を自由にできる。 
 
 
 
 X 軸の周り 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Y 軸の周り 
 
 
 Z 軸の周り 
 
 
 
 
 
 
  ここで、Y軸の周りを90度回転してみると２つの回転軸が重なってしまうこの状態は「ジンバルロック」といい、１つの回転自由度が失ってしまった： 
 
 重なったXとZを回転しても、同じ回転になってしまう。 
 矢印の方向に回転したくても、できない 
 
 
  この場合はうまく回転できなくなるので、何かの解決を実装しないといけない。 
 一時的な解決：Angle-Axis（度-軸）回転 
  ジンバルロックになってしまった場合、一時的に新しい回転軸を作成し、その「仮想軸」の周りに回転ができる。この方法を使うと、定番のXYZだけではなく、お好みのベクトルの周りに回転ができる。 
 
  式は、今までの回転と同じアイデアである。sinとcosを使うが、回転する面はあるベクトル「 v 」を直交する 
  この場合は、回転行列は以下のようになる： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ここで、 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 θ は回転角度で、 
   
 v は回転軸になる任意の3D単位ベクトルである 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 これは今までの回転行列の一般な形である。例えば、回転軸は Z にすると： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 とすると、行列を更新すると： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 でも、 、なので… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 これで、Z 軸周りの回転行列に戻った！ 
 Unityのサポート 
 Unityでは「 Quaternion.AngleAxis 」を使用し、任意の軸周りの回転ができる： 
 // 以下、X 軸周りに45度を回転する相当：
Vector3 axis = new Vector3(1, 0, 0); // 軸
float angle = 45; // 角度

transform.localRotation = Quaternion.AngleAxis(angle, axis);　// 度・軸の回転 
 練習 
 惑星と月を真似しましょう。月が惑星の軸周りを従って回転させましょう： 
 
 Moonスクリプトを作成し、
 
 回転速度 
 追跡する惑星 
 惑星から離れる距離 
 
 
 Inspectorで設定できるようにする 
 Quaternion.AngleAxis を使用し、惑星の「上向きベクトル」( transform.up ) の周りに回転する 
 実行し、Sceneビューで惑星を傾いて、回転を確認する。 
 
 汎用的な解決 Quaternion（クォータニオン - 四元数） 
 「クォータニオン」は、回転を表す４次元の数値である。一般な形は 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ここでは、「+」は加算ではなく、次元を表してる。ベクトルの表現にすると： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  と等しいのである。４次元の数値であるため演算は多少ややこしいので、ゲームで使う目的だけに注目しましょう。 
   単位クォータニオン の特徴は： 
 
 ジンバルロックせず、どの回転でも表現ができる 
 ２つのクォータニオンを乗算は、２つの回転を連続に適用すると同じものである 
 逆クォータニオン（共役）は、逆回転と同じである 
 クォータニオン⇔回転行列の変換ができる 
 
  クォータニオンがゲームの中で回転でよく使われるので、Unityがすでに実装されている。Unityは「 Quaternion 」というクラスがあり、すべての回転は「 Quaternion 」で行う。そもそも「 transform.rotation 」のデータ型は「 Quaternion 」だ！ 
 // Unityの中で、すべての回転は「Quaternion型」である
Quaternion rot = transform.rotation; 
 オイラー角度と Quaternion の変換 
 Unityではオイラー角度（XYZ回転）と Quaternion の変換メソッドが実装されている： 
 // 回転を Quaternion として表現されている
Quaternion rotA = transform.rotation;

// オイラー角度を知りたいなら：
Vector3 angles = rot.eulerAngles;

// 逆に、オイラー角度から Quaternion にしたいなら：
Quaternion rotB = Quaternion.Euler(x, y, z); // x, y, z は各軸の回転である

// このまま回転として利用できる
transform.rotation = rotB; 
 掛け算（乗算） 
 クォータニオンが重要なので簡単にクォータニオンの掛け算を理解していきましょう。なお、式を覚えるよりも、掛け算はどのような影響があるのかを覚えてください。 
 ２つのクォータニオン「q」と「p」があり、それぞれは別の回転であるとしたら「p × q」は、連続に２つの回転を適用したことと同じである。 
 クォータニオン「p」による回転 
 
 
 
 
 
 クォータニオン「p」による回転 
 
 
 
 クォータニオン「q」による回転 
 
 
 
 
 q × p の結果 
 
 
 
 
 式は教科書にある（泣きたくなるぐらい大変）が、Unity の Quaternion なら「*」で計算できる： 
 // 「p」と「q」それぞれは「Quaternion」である
Quaternion qp = q * p; 
  注意：クォータニオンの積は可換でない。回転の順番により、最後の結果が変わるので、行列と同様に： 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 q × p 
 
 
 
 p × q 
 
 
 
 
 回転行列との関係 
 任意の単位クォータニオンを今まで勉強してきた回転行列として表現ができるので、他の変換と組み合わせることができる。 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 「a, b, c, d」はクォータニオンの成分である。これで、 クォータニオンを回転行列に変換でき、他の変換（移動、拡大縮小）との連結できるようになる。