各種の変換（トランスフォーム）

今まで、物体の移動（位置）、回転と拡大縮小をUnityの「transform」コンポーネントを使ってやってきました。

実は裏側でなにが行われているのか、学んでいきましょう。

移動（位置）

一番簡単なのは、「移動」（位置）である。基本的に、メッシュの各頂点を移動させたい量を足すだけで実現できる。学んできた「ベクトルの足し算」を使えば、すぐ実装できる：

ここで「v'」は移動した頂点で、「v」は元の頂点で、「t」は移動ベクトルである。

練習

MyTransform のスクリプトを作成し、MyCube で作った立方体を移動する。

頂点の位置を変えないとけいないので、MyCube の頂点を読み込む（GetVertices）、書き込むメソッド（SetVertices）を作成してください。
- GetVertices は頂点配列のコピーを返してください：
  return (Vector3[])vertices.Clone();
- そうしないと、元の頂点の位置が失ってしまいます～
MyTransform で MyCubeの参照を GetComponent で取得し、頂点を変換する。
- 移動量（位置）を Inspector で変えられるようにしてください。
- Translate(Vector3[] vertices)で移動を実装
- Updateで
  - 頂点を取得
  - Translateで移動
  - 変換した頂点を設定

MyCube の GetVertices と SetVertices

// メッシュの頂点を返す
public Vector3[] GetVertices()
{
	// 元々の頂点データを守りたいので、コピーを返す
	return (Vector3[])vertices.Clone();
}

// メッシュの頂点を設定
public void SetVertices(Vector3[] vertices)
{
	mesh.vertices = vertices;
	mesh.RecalculateNormals(); // 方法ベクトル再計算
}

MyTransform スクリプト

// 自分で作った変換(Transform）コンポーネント
public class MyTransform : MonoBehaviour
{
    // 位置・移動量
    [SerializeField] 
    private Vector3 position;
    
    // 立方体
    private MyCube cube;

    private void Start()
    {
        // MyCubeを取得し、変換する前の頂点を保管しておく
        cube = GetComponent<MyCube>();
    }
    
    private void Update()
    {
        // 頂点を取得
        Vector3 [] vertices = cube.GetVertices();
        
        // 移動を適用
        Translate(vertices); 
        
        // 変換した頂点を適用
        cube.SetVertices(vertices);
    }

    // 頂点を移動する
    private void Translate(Vector3[] vertices)
    {
        // 1個ずつを処理
        for (int i = 0; i < vertices.Length; i++)
        {
            // ベクトルの加算で移動を実現！
            vertices[i] = vertices[i] + position;
        }
    }
}

拡大縮小（スケール）

拡大縮小は「すべての頂点を大きくする」または「小さくする」ということで、それぞれの頂点の「倍率」の値をかければ良いでしょう（ベクトルと実数の掛け算）

練習

MyTransform を編集して…

Inspectorで倍率の係数を変えれるようにする（デフォルト値：1）
Updateで、Translate の前に Scale を適用

MyTransform スクリプト（編集分）

// 拡大縮小
[SerializeField] 
private float scale = 1;

private void Update()
{
	// 頂点を取得
	Vector3 [] vertices = cube.GetVertices();

	// 拡大縮小
	Scale(vertices);
	
	// 移動を適用
	Translate(vertices); 
	
	// 変換した頂点を適用
	cube.SetVertices(vertices);
}

private void Scale(Vector3[] vertices)
{
	// 1個ずつを処理
	for (int i = 0; i < vertices.Length; i++)
	{
		// ベクトルの乗算で拡大縮小を実現！
		vertices[i] = vertices[i] * scale;
	}
}

正しいスケール

よく見れば、Unityでは軸は別々でスケールできるよね。作ってきた「Scale」は３つの軸を同時にスケールしてしまう。ならば、少し式を変えないといけないが、ベクトル同士の掛け算ができないはず…

ベクトル「v」と「s」の各要素の乗算したいけど、ベクトル同士の乗算がない（外積と内積どっちも使えない！）

ちょっと待って…「各要素の乗算」って行列でできるのでは？たしかに、これができる！

ここで「S」のことは「スケール行列」といい、各頂点にかければ、正しく拡大縮小を実装できる。

練習

MyTransform を編集して…

倍率の処理を削除
Inspectorでx, y, zの各軸の拡大縮小をを変えれるようにする（デフォルト値：1, 1, 1）
Scale を更新し、スケール行列を作成し、変換してください。

MyTransform スクリプト（編集分）

// 拡大縮小
[SerializeField] 
private Vector3 scale = new Vector3(1, 1, 1);

private void Scale(Vector3[] vertices)
{
	// スケール行列を作成
	Matrix s = new Matrix(3, 3);
	s.Set(0, 0, scale.x);
	s.Set(1, 1, scale.y);
	s.Set(2, 2, scale.z);
	
	// 1個ずつを処理
	for (int i = 0; i < vertices.Length; i++)
	{
		// 行列の乗算で拡大縮小を実現！
		vertices[i] = s.Multiply(vertices[i]);
	}
}

回転

これはややこしい…

2次元の回転

まず、2Dの回転を考えてみましょう。三角関数を使って回転できるはずなので…

ある頂点「v=(v_x, v_y)」の位置を角度「θ」で回転したら、新しい位置「v’=(v’_x, v’_y)」を求めたい。これで難しいので、問題を分解して解決しましょう。

ベクトル v=(v_x, v_y) を成分 v_x と v_y に分解し、別々で回転し、加法でまた合体すれば、回転した v' を求めることができる。名前をわかりやすくするため各成分のベクトルを「a」と「b」にしましょう。

「a」の回転

「a」の回転には、単位円、および三角関数で学んだ「サイン」と「コサイン」で回転できることがわかる。確か：

「a」を「θ」度で回転すれば、a' になる。ここで：

ただし、「a」は「v」の「x」成分なので、以下のは事実である：

ので、ベクトル「a」のノルムは：

つまり

「b」の回転

「b」の回転は同じ考え方で行うのですが、幾何学的にはわかりにくいので、xy 座標系を倒してみましょう：

ここでまたサインとコサインを使えるが、x と y 軸が倒したので、以下のようになる：

そして、「b」は「v」の「y」成分なので、以下のは事実である：

ので、ベクトル「b」のノルムは：

したがって、

「a'+b'」の合体

分解したベクトル「v」の回転「v'」、回転した成分「a'」と「b'」の加法で復元できる。つまり：

ベクトルの加法は各成分の足し算なので：

上記で求めた式を書き換えるとこうなる：

これは回転ベクトル「v'」になる。ただし、多少読みにくいので、ベクトル×行列として表現ができる：

ここで「R(θ)」は「回転行列」という。ある２次元の位置（頂点）「v」を角度「θ」を回転したいなら、この行列の掛け算で回転した後に位置を求めることができる。

3次元の回転

２次元の場合は問題ないが、3Dの場合はどう変わる？まず、Z軸周りの回転を見てみましょう。実は、この回転は2Dの回転と全く同じであり、Zの値はずっとゼロになるだけ：

つまり：

これは「Z軸周りの回転行列」である。上記と同じ考えを持ち、X軸とY軸周りの回転行列を求めることができる

練習

MyTransform を編集して…

Inspectorでx, y, zの各軸の回転角度を設定できるようにする。
各軸を回転行列を作成するメソッドを作成してください
- Matrix MakeRotX();
- Matrix MakeRotY();
- Matrix MakeRotY();
void RotateEuler(Vector3[] vertices)（オイラー角度の回転）メソッドを実装
- ３つ回転行列を作成し、X→Y→Zの順番で処理し、回転する

MyTransform スクリプト（編集分）

// X軸周りの回転行列を作成
private Matrix MakeRotX()
{
    // 度→ラジアン
    float radian = Mathf.Deg2Rad * rotation.x;

    // サインとコサインを計算
    float c = Mathf.Cos(radian);
    float s = Mathf.Sin(radian);
    
    // 行列を構築
    Matrix m = new Matrix(3, 3);
    m.Set(0, 0, 1);
    m.Set(0, 1, 0);
    m.Set(0, 2, 0);

    m.Set(1, 0, 0);
    m.Set(1, 1, c);
    m.Set(1, 2, s);

    m.Set(2, 0, 0);
    m.Set(2, 1, -s);
    m.Set(2, 2, c);

    return m;
}

// Y軸周りの回転行列を作成
private Matrix MakeRotY()
{
    // 度→ラジアン
    float radian = Mathf.Deg2Rad * rotation.y;

    // サインとコサインを計算
    float c = Mathf.Cos(radian);
    float s = Mathf.Sin(radian);
    
    // 行列を構築
    Matrix m = new Matrix(3, 3);
    m.Set(0, 0, c);
    m.Set(0, 1, 0);
    m.Set(0, 2, -s);

    m.Set(1, 0, 0);
    m.Set(1, 1, 1);
    m.Set(1, 2, 0);

    m.Set(2, 0, s);
    m.Set(2, 1, 0);
    m.Set(2, 2, c);

    return m;
}

// Z軸周りの回転行列を作成
private Matrix MakeRotZ()
{
    // 度→ラジアン
    float radian = Mathf.Deg2Rad * rotation.z;

    // サインとコサインを計算
    float c = Mathf.Cos(radian);
    float s = Mathf.Sin(radian);
    
    // 行列を構築
    Matrix m = new Matrix(3, 3);
    m.Set(0, 0, c);
    m.Set(0, 1, -s);
    m.Set(0, 2, 0);

    m.Set(1, 0, s);
    m.Set(1, 1, c);
    m.Set(1, 2, 0);

    m.Set(2, 0, 0);
    m.Set(2, 1, 0);
    m.Set(2, 2, 1);

    return m;
}

// オイラー角度の回転
private void RotateEuler(Vector3[] vertices)
{
    Matrix rotX = MakeRotX();
    Matrix rotY = MakeRotY();
    Matrix rotZ = MakeRotZ();
    
    // 1個ずつを処理
    for (int i = 0; i < vertices.Length; i++)
    {
        // X→Y→Zの順番で回転
        Vector3 v = vertices[i];
        v = rotX.Multiply(v);
        v = rotY.Multiply(v);
        v = rotZ.Multiply(v);
        vertices[i] = v;
    }
}

すべての変換を統一する：同次座標

　スケールと回転とも3x3の行列で、「行列×ベクトル」のパターンを使うことができるが、位置（移動）は、ベクトル同士の足し算なので、処理の一体化できない。すべての変換を統一できる行列にできれば、処理も統一できるでので、新しい概念を学びましょう。
　ちょっと見てみましょう：各成分（x, y, z）を移動量（tx, ty, tz）を足さないといけないので、行列にするとしたら、こういう作戦がある。3x3の行列ならば、各成分の掛け算になるが、：